Jahanbakhsh zadebiutował w sezonie 2010/2011 w barwach Damasha Gilana, który grał w trzeciej lidze w Iranie. W tym sezonie awansował do Azadegan League. Następnie udał się do SC Damash, który właśnie wywalczył promocję do Iran Pro League. W 2012 roku zajął siódme miejsce z tym klubem, a w 2013 roku 11. W sezonie 2012/13 dotarł również do półfinału Pucharu Iranu.

Pod koniec maja 2013 roku ogłoszono, że N.E.C. osiągnął porozumienie zarówno z Jahanbakhshem, jak i jego klubem w sprawie transferu zawodnika. 1 grudnia 2013 roku zdobył swoją pierwszą bramkę w Eredivisiew 53. minucie meczu z AZ. 3 maja 2014 roku Jahanbaksh strzelił dwa gole w meczu z Ajaksem w ostatniej kolejce sezonu 2013/2014 W rezultacie N.E.C. zremisowało 2:2 i o jeden punkt wyprzedziło Rodę JC, która bezpośrednio spadła z ligi. Cesarscy jednak polegli w barażach ze Spartą i również pożegnali się z Eredivisie. Ale rozpacz nie trwała długo, bo ekipa z Nijmegen już po roku wróciła. W tym sezonie Alireza zdobył Złotego Byka dla najlepszego zawodnika Pierwszej Ligi i został wybrany piłkarzem roku przez stowarzyszenie kibiców.

4 sierpnia 2015 roku ogłoszono, że przechodzi do AZ Alkmaar. 30 stycznia 2016 roku zdobył swoją pierwszą bramkę dla AZ na Goffertstadion przeciwko... N.E.C. W swoim pierwszym sezonie wystąpił w 23 meczach i strzelił trzy gole. Swój drugi sezon rozpoczął mocno, z trzema golami w pierwszych pięciu meczach, ale pod koniec kampanii strzelecki wynik wynosił tylko 10 trafień.

Jahanbakhsh powoli, ale z czasem stał się gwiazdą Kalmarów. W swoim trzecim sezonie został królem strzelców Eredivisie z 21 golami na koncie. Jego strzeleckie wyczyny nie przeszły nie zauważone i w efekcie za duże pieniądze przeszedł do Brighton & Hove Albion. W barwach ekipy Mew od początku odgrywał marginalną rolę. Na sezon rozgrywał po około dziesięć spotkań, zdobywając po jednej, dwie bramki. Swoją pierwszą bramkę zdobył w wygranym 2:0 meczu z Bournemouth. Dopiero w rozgrywkach 2020-2021 trener Graham Potter korzystał z niego zdecydowanie częściej, ale i to nie zmieniło jego pozycji w zespole.

Jahanbakhsh opuścił Brighton po trzech sezonach, gdy postanowił wrócić do Holandii. 17 lipca podpisał trzyletni kontrakt z Feyenoordem. w nowych barwach zadebiutował 29 lipca 2021 roku w meczu Europa Conference League z FC Drita. Swoją pierwszą bramkę dla Feyenoordu zdobył w tych samych rozgrywkach, 12 sierpnia 2021 roku, gdy Feyenoord grał rewanżowe spotkanie ze wspomnianym klubem z Kosowa. Irańczyk zdobył wtedy ostatecznie dwa gole. 

DEBIUT W FEYENOORDZIE: 29-07-2021 Feyenoord - FC Drita 3-2